从史瓦西解到黑洞

卡尔·史瓦西(Karl Schwarzschild,1873年-1916年)是德国物理学家和天文学家。

(史瓦西。图片来自网络)

爱因斯坦建立的广义相对论中的引力场方程,物理思想精辟,数学形式也漂亮,但是,求解起来一般来说却是非常困难。史瓦西给出了引力场方程的第一个精确解析解。

他首先考虑了一个最简单的物质分布情形:静止的球对称分布。也就是说,史瓦西假设真空中只有一个质量为m的球对称天体,那么,引力场方程的解是什么?这种分布情况虽然异常简单,但却是大多数天体真实形状的最粗略近似。史瓦西很幸运,他由此特殊情形将方程简化而得到了引力场方程的第一个精确解。求解引力场方程的目的也就是解出时空的度规,史瓦西得到的解便叫做史瓦西度规。

当时正值第一次世界大战爆发,已经年过40的史瓦西,是在俄国服兵役的间隙中作出了这项经典黑洞方面的先锋工作。因而,他迫不及待地将两篇论文寄给了爱因斯坦,并很快就将要发表在普鲁士科学院的会刊上。遗憾的是,老天爷没有让史瓦西来得及看到自己的文章发表,他因病死在了俄国前线的战壕中。

不过,史瓦西的名字,随着他开创性的工作:史瓦西度规和史瓦西半径,永远留在了广义相对论及黑洞的历史上。

图6-1-1:史瓦西度规和球坐标

首先,我们用度规概念,来理解一下图6-1-1中的史瓦西解。如前所述,度规被用来计算时空中微小弧长的平方(ds2)。从图6-1-1可知,史瓦西度规中的第一项与时间的微分dt有关,另外两项便是空间部分。史瓦西度规是在球对称的物质分布下得到的引力场方程的解析解,因此,其空间部分与解析几何中的球坐标看起来颇为类似。事实上,从图6-1-1中可以看出,通常所用的球坐标是史瓦西度规在远离球中心时空间度规部分的近似。

史瓦西度规中最重要的物理量是史瓦西半径rs(=2GM/c2)。以上表达式中G是万有引力常数,c为光速,由此可知,史瓦西半径rs只与球体(星体)的总质量m成正比。也就是说,对每一个质量为m的星体,都有一个史瓦西半径与其相对应。比如说,根据太阳的质量,计算出太阳的史瓦西半径大约是3公里,而地球的史瓦西半径只有9毫米。

(图片来自网络)

可以这样来理解太阳和地球的史瓦西半径:如果将太阳所有的质量都压进一个半径3公里的球中,或者是将我们整个地球全部挤进一个弹子球中,那时候的太阳(或地球)就变成了一个黑洞。它们附近的引力场非常巨大,能够将运动到其附近的物质统统吸进去,光线也不能逃逸,因此,从外面再也看不见它们。

如此根据质量算出来的史瓦西半径rs数学上是什么意思呢?我们仍然从图6-1-1中史瓦西度规的表达式来理解。可以这么说,史瓦西半径将时空分成了两部分:离球心距离r大于史瓦西半径的部分和小于史瓦西半径的部分。如果离球心距离r大大地大于史瓦西半径,比值(rs/r)趋于0,史瓦西度规成为平坦时空中的闵可夫斯基度规。这是符合天文观测事实的,在远离天体的地方,引力场很小,时空近于平坦。只有在史瓦西半径附近和内部,时空度规才远离平坦,时空弯曲程度急剧增大。

从图6-1-1中史瓦西度规的表达式可见,有两个r的数值比较特别,一个是(r=rs),一个是(r=0)。这两个数值都导致史瓦西度规中出现无穷大。不过,数学上证明,第一个在史瓦西半径处的无穷大是可以靠坐标变换来消除掉的假无穷大,不算是奇点,只有r=0处所对应的,才是引力场方程解的一个真正的“奇点”。

(图片来自网络)

史瓦西半径处虽然不算奇点,但它的奇怪之处却毫不逊色于奇点。首先,当r从大于史瓦西半径变成小于史瓦西半径,度规中的时间部分和空间部分的符号发生了改变。这是什么意思呢?好象是时间t变成了空间r,空间r变成了时间t,这对我们习惯使用经典时间空间观念的脑袋而言,是无法理解的。

也许我们可以暂时不用去作过多的“理解”,只记住一句话:“史瓦西半径以内,时间和空间失去了原有的意义”。还好我们也没有必要对史瓦西半径以内的情况作更多的想象,因为我们活着去不了那儿,根本不知道在那儿发生了什么?并且现在看起来,我们永远也不可能真正切身用实验来检验那儿时空的奇异性。那是一个界限,是等同于许多年之前米歇尔和拉普拉斯称之为光也无法逃脱的“暗星”的界限。

当初的牛顿力学只能预测说,如果质量集中在如此小的一个界限以内,光线也无法逃逸,外界便无法看到这颗“暗星”。而根据广义相对论,除了无法逃逸之外,还带给我们许多有关时间空间的种种困惑,也许这些困惑的解决能给于我们对时间和空间的更深刻的认识,从而促成物理学的新革命,促成引力理论和量子理论的统一。

(图片来自网络)

总而言之,史瓦西度规虽然有奇怪的结果,实际上却是非常地简单,简单到就是一个半径和被该半径包围着的一个奇点。因为在这个半径以内,外界无法得知其中的任何细节,我们将其称之为“视界”。视界就是“地平线”的意思,当夜幕降临,太阳落到了地平线之下,太阳依然存在,只是我们看不见它而已。

对一个太阳质量的星体,如果因为某种原因,将其所有的质量都压缩到了半径小于3公里的球体中,那时候,任何东西都逃不出来,即使是光线。对外界的观察者而言,太阳变成完全是“黑”的,物理学家惠勒给它起了一个好名字:“黑洞”。

(摘自《永恒的诱惑:宇宙之谜》,作者:张天蓉)

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